2023.04.06CCtalk建立数学模型，培养核心素养（罗勇)

建立数学模型， 培养核心素养

        泸县方洞镇雨坛中心小学校  罗勇

  老师们，今天，我带来的讲座是：建立数学模型， 培养核心素养

《建立数学模型培养核心素养》，我从四个方面来讲：1、小学数学模型的实质。2、小学数学渗透模型思想的意义。3、小学数学课堂教学中怎样建模。4、建立数学模型要注意什么。

一、数学模型的实质

模子，这儿有三种模型（子），有了模型，我们就可以照着做，就好比有了图纸，就能造东西等。

在我国古代用木头做的模型叫做“模”，用土做的模型叫做“型”，所以模型其实就是指模子。模型是规范，原型的意思。这里指对某种事物的抽象或效仿。

数学模型，是对照某种实情体系的首要特性、重要关联， 用模式化的数学措辞归纳或叙述其构造。

  数学模型思想就是把现实世界中有待解决的问题，从数学的角度归纳到一类已经解决的问题中去。是用数的形式表达实际问题然后进行解答的一种思想。

在数学领域，数学模型就是用简洁又准确的数学语言表述概念、描述规律,小结方法等。

广义的数学模型是整个的数学教材。数学教材中包含的一些概念、符号、图形、数量关系等等都是数学模型。

下面我们来看看一些列子，

概念模型  

例如：

①加减法的意义。先来说说加法，左图中的小女孩的右手拿着3只气球，左手拿着1只气球；分别用3个小圆点和1个小圆点来表示，对应的下边分别写出3,  1；当小女孩把所有气球合在一起，图中表示，此时用加号（+）来连接3，  1，变成3+1。再来数数小女孩手中共有4只气球了，所以在3+1的右边写出4，且用等号（=）连接。读作：三加一等于四。建立了一个加法模型。

②再看看减法：右图中的小女孩拿着4只气球，用4个小圆点来表示，接下来放飞1只气球；在原来的小圆点中圈掉1个小圆点来表示，对应的下边分别写出4,  1；当小女孩把1只气球放飞时，图中表示，此时用减号（－）来连接4，  1，变成4－1。再来数数小女孩手中只有3只气球了，所以在4－1的右边写出3，且用等号（=）连接。读作：四减一等于三。建立了一个减法模型。

根据上面的加减法模型，就可以试着看图写算式，计算。

已经有3只白兔，旁边又来了1只灰兔。记3+（ ）=（ ）；其他类似；（讲座时依次说出。）

③乘法  

请看左图第①小问：小飞机里共有多少人？图上有“一共有5个3。”我们就先写出3  3  3   3  3，用加法来连接这5个3，再计算，等于15。

第②小问：小火车里共有多少人？要填写（  ）个6，看图可以得出有4个6，随之写出6＋6＋6＋6=24。

第1、②小问，都是给出几个相同数相加的等式出发，从告诉5个3，到（ ）个6，让学生体会几个相同数相加，还有一种特别的表示法，几个几。

再看看第③问，过山车里共有多少人？图中有2＋2＋2＋2＋2＋2＋2=14，让学生填空（   ）个（   ）。学生通过数数等号左边共有7个2，所以填写（ 7  ）个（  2 ）。

有了以上的铺垫，给出 “这种加数相同的加法，还可以用乘法来表示。”引出乘法算式，（据图片依次说。）我们就建立起一种新的计算模型：乘法。

④除法

把12 个竹笋平均放进4个果盘里，每盘放（   ）个？可以像小熊猫那样去试放，一个一个地把竹笋依次放进4个果盘里，直到把全部的竹笋都放进果盘，可以得出结论：每盘放（  3 ）个。这样的平均分可以用除法来表示，12÷4=3。建立起除法模型。

 （练习，根据图形说一说。）

⑤方程的意义（含有未知数的等式叫方程。）

 第①题，直接根据“含有未知数的等式叫方程。”进行判断，得出x＋3.6=7是方程，8－x=2是方程，5y=15是方程，2x＋3y=9是方程。

 第②题是图示题，左边用天平来展示的图，恰好符合方程是等式。要保证天平平衡，左右就一定相等。可以列出方程：x＋0.5=2.5；  右图表示把3个x合起来，共36支。也可以列出方程x＋x＋x=36，或3x=36。

再来说说符号 ----- 用字母表示运算定律 ，

加法交换律 a+b = b+a，

加法结合律 (a+b)+ c = a+(b+c) ，

乘法交换律 a × b= b × a ，

乘法结合律 (a × b) × c = a × (b × c) ，

乘法分配律 (a + b) × c = a × c + b × c ，

减法的性质 a － b － c = a － ( b + c) ，

除法的性质 a ÷ b ÷ c = a ÷ ( b × c) ，

商不变的性质 a ÷ b = ( a × c) ÷ (b × c) 等。

用字母表示数，有直观，简洁，一般性等优点，同时也方便使用。

我们再看看  图形---- 平面图形和立体图形

1、平面图形模型，   在小学阶段涉及到的平面图形的面积  ，左图所示。

        ……

2、空间图形模型

指的是常见立体图形的表面积。主要包括长方体，正方体等。 下图所示。

空间图形模型 ：指的是常见立体图形的表面积，体积。主要包括

接下来，我们谈谈数量关系中的数学模型。数量关系 （ 小学阶段接触最多） ，常见的有工作效率×工作时间=工作总量 ，速度×时间=路程 ，单价×数量=总价 ，每份数×份数=总数 ，总数÷总分数=平均数

正比例关系，反比例关系等，小学阶段常见的问题解决 运用数量关系模型 解决其它同类问题的过程。

数学模型 是要解决生活中的具体的实际问题，它针对的是某一个特定的、有特殊意义的问题。如：植树问题、确定起跑线问题、鸽巢问题，打电话，找次品问题等等这一类特定问题的解决。

例如：植树问题模型

植树问题也就是反映 总路线长 ， 间距长 与 棵树 这三个数量之间的关系的问题。这三个数量关系之间一般有下列关系：

点与间隔一一对应，长度÷间隔 = 棵树

一端栽， 长度÷间隔 = 棵树      两端都栽， 长度÷间隔 +1= 棵树

两端都不栽， 长度÷间隔 -1= 棵树 

   还有确定起跑线问题、鸽巢问题，打电话，找次品问题等一类特定问题的解决。 

再看看打电话问题模型 ，请看下图，师传信息给一名学生，接下来，老师和已得到信息的学生都可以同时把信息传下去，依次下去，相当于遍地开花，短时间能将信息传递下去。

二、小学数学中渗透模型思想的意义

《 义务教育数学课程标准（ 2022 版）》中指出 “ 模型思想 的建立是学生体会和理解 数学与外部世界 联系的基本途径。 ” 

（一）有利于提升同学们处理问题的技能

小学阶段常见的 解应用题 就是运用 数量关系模型 解决同类问题的过程。例如：路程问题，植树问题等。

（二）有益于提升同学们的数学理解

数学建模的过程 是首先让学生从现实生活中找出问题，然后把问题用 数学的方式 表现出来，并求出解，再回到实际中进行 验算 。

在这个过程中他们的 观察和处理问题 的能力就有了全面的提升。 在这个过程中他们的观察和处理问题的能力就有了全面的提升。学生的数学素养也得到了提升。（三）有益于激发同学们的学习兴趣。

学生通过 体验参与建立 数学模型的过程，体会到模型与生活是相关的， 学习数学就能够用数学去表达生活的问题 。从而让学生体会到学习数学的乐趣，进而喜欢数学。

三、小学数学课堂教学中怎样建模 

小学数学模型建立：就是从实际生活原型或提供实际背景出发，充分利用观察、试验、操作、比较、分析、抽象、概括等思维方式，去掉非本质东西，用数学语言或数学符号表述出数学模型，再利用数学模型处理一些实际问题。

建构数学模型过程普通分为以下几个步骤：

①从情境中发觉数学、提炼数学问题。 ②提炼这些数学问题本质属性、充分感受本质属性建立数学模型。 ③应用数学模型处理生活中问题。

④ “ 找模 ”   建模 ”     “ 用模 ” 

例子：

求小明绕长方形花圃跑一周长度？

1.提炼数学问题，求花圃一周长度   2.问题本质：即是求图形周长

3.应用图形周长公式处理问题

四、建构数学模型注意以下几个方面：

1.从生活情境中发觉数学、提炼数学问题关键是 设置 适当、合情、合理 数学情境。 

能吸引学生学习兴趣，能为课堂教学内容服务，能表达数学知识本身特点。

案例：（位置）

  老师说：本周五下午3：00我们班召开家长会，你怎么表示你位置并告诉家长，让家长快速找到？              （几列几行）

2.建构数学模型过程：

提倡自主探索、动手实践、合作交流。以学生为主体、老师为主导。 

(1)勉励学生先独立思索、探索，再合作交流，交流过程中首先关注普通学生，然后勉励学习好学生发表有创新想法，最终帮助后进生了解，到达基本要求；正好诠释了“人人都能取得良好数学教育。”的核心素养。

例如：孩子吃苹果，有两种方式：一个是父（母）帮忙削苹果，另一个是自己削，结果是都能吃到苹果，可过程不一样。

     教师在教学过程中应给学生一定思考和探索空间：

再看看　案例：两个教师上乘法初步认识。

 师一：

    让学生依据情境列出各种加法算式，把算式分类（分类标准是按加数是否相同）贴在黑板左右两边，然后引导学生观察比较，给加数相同加法起个名，并用自己喜欢方式表示出来，怎样说更简便。再汇报交流、教师归纳总结出乘法及表示方法。

师二：

前边情境、活动基本同上。不过老师没给学生探索思索机会，就说：我们把这些加数都相同加法叫做乘法，给出表示式、符号。

以上两种方式结果基本上是一样， 目标都达成了，不过过程却不一样。

  我们要提倡自主探索、合作交流、巩固应用、当小老师。

当小老师是有难度，不一样于普通汇报交流。

3.构建数学模型要重视各种路径、手段，感受模型本质

例如：相互平行这一概念本质 同 一平面内 两条直线 不相交 就叫相互平行。

（1）让学生再亲自朝两边再延长，感受永不相交。

（2）把其中一条直线向下平移，看看会发生什么？

（3）把它放到方格纸上，看看你发觉了什么？

（4）用移动线段代表宽度，看看他们之间宽度怎么样？

（5）出示不一样方向的几组平行线，感受与直线摆放位置、方向无关。

（6）用自己话说一说什么是相互平行。

    最终揭示概念形成数学模型！

4.利用模型处理问题注意以下几方面。

（1）要有层次，逐步递进。 

如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后首先进行单项练习:

汽车每小时行60千米,4小时行多少千米?使用“路程=速度×时间” 60×4 =240

汽车4小时行240千米,每小时行多少千米? 使用“速度=路程÷时间 ”240÷4=60

汽车每小时行60千米,行240千米需要几小时?使用“时间=路程÷速度” 240÷60=4

反馈时不但让学生说或写算式,同时要说这么写理由。

   然后出示变式题：

汽车4小时行驶了240千米，12小时可行驶多少千米？   (求路程要先算出速度)

火车速度是每小时130千米，火车早上8：00出发，14：00到站，两站之间距离是多少千米？    (求路程要先算出时间)

一题多变，让学生逐步理解数量关系中各个量之间的亲密关系，并能灵活应用。

（2）利用数学模型，注意归类整理

数学教学反对没有建好数学模型基础上大量题海练习，收效不大，反而增加老师、学生负担，适量练习是必须。 重视归类练习和有针对性易错题练习。 练习后一定要找知识的依据。

老师们，这是我对“建立数学模型，培养核心素养”的肤浅认识，请指正。

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