2022.09.14牛滩学区教研活动 几何直观

几何直观在小学数学教学中的应用

泸县牛滩镇玉峰中心小学校  王路

义务教育数学课程标准（2022年版）中明确提出了数学课程中的11个基本核心素养，即：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识和创新意识。今天我将和大家一起分享这些数学核心素养中的“几何直观”。

数学作为一门科学，它具有鲜明的特征：高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的应用性。作为课程的教学内容，在充分展示它独有的抽象性特征的同时，我们还要考虑学生学习数学的可接受性和学生的心理适应性。因此，采用恰当的直观手段就显得很有必要。

一、几何直观的基本概念

（一）何谓几何直观

课程标准中提出了10个核心概念，其中一个便是几何直观，实际上这个几何直观就是化抽象为具体的一个方法。

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。

（二）何谓数形结合思想

小学数学常用的思想方法：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、化归思维方法、变中抓不变的思想方法、数学模型思想方法、整体思想方法等等。

实际上，在我们的数学教学过程中，数形结合思想就是一种典型的几何直观，所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

（三）数形结合思想重要性

数形结合有利于开发学生的右脑，从记忆的方式来分析，左脑主要是逻辑记忆，而右脑主要是直觉记忆，脑科学也证明直觉图形能力的大小和右脑对图像的感知能力是密切相关的，一个对图像感知能力强的人，他的直觉图像能力就强，也就是他的右脑便会更灵活。

我国著名数学家华罗庚的教学诗：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。” 通俗地说明了数形结合思想的重要性。美国数学家斯蒂恩也说到：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”

（四）几何直观运用领域

几何直观运用于数学的各个领域，涵盖了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教学始终。

（五）几何直观的表现形式

几何直观需要借助常见图形展开想象进而揭示规律，表现形式通常包括：几何图形、线段图、数轴、方格纸、坐标、方向标、示意图、列表、动画等一系列。

二、数与形之间的四种转化

小学数学的研究对象，概括起来就是数与形的两个方面。“数”与“形”是贯穿整个中小学数学教材的两条主线，更是贯穿小学数学教学始终的基本内容，“数”与“形”的相互转化、结合是数学的重要思想，更是解题的重要方法。

数与形之间的转化详细可分为：数与数之间的转化、形与形之间的转化、形到数的转化、数到形的转化。

以小学数学西师版教材中六年级下册中《圆柱的体积》一课为例，探索本课实际课堂教学活动中是如何体现数与数之间的转化、形与形之间的转化、形到数的转化、数到形的转化，又该如何落实举措，培养学生的数学核心素养“几何直观”。

（一）数与数之间的转化

“数”是指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表的数量信息和呈现方式。

《圆柱的体积》真实课堂教学中，教师引导学生通过推导得出圆柱的体积计算公式：V=Sh，在实际问题解决中往往并不会直接告诉圆柱的底面积和高，所以我们会将圆柱的体积公式进行转化,当知道圆柱底面积和高时：V=Sh，当知道圆柱底面半径和高时：V=πr²h，当知道圆柱底面直径和高时：V=π(d÷2）²h，当知道圆柱底面周长和高时：V=π(c÷π÷2）²h。4个公式相互转化，变中亦有不变，一年级学生学习数的分合，5可以分成1和4,5可以分成2和3，这也是数与数之间的转化。

公式与公式之间的相互转化本质上就是数与数之间的转化，数与数之间的转化给学生提供了有效的解题策略，同时在相互转化的过程中培养了学生转化和数形结合的思想方法。

（二）形与形之间的转化

“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。

在本课中教师引导学生将圆柱模型通过切割、拼凑成一个近似的长方体，从而将圆柱的体积转化为与它等底等高的近似长方体的体积，进而推导出圆柱的体积公式。

   学生学习新的图形时往往会用到形与形之间的相互转化，形与形之间的转化有助于增强学生的图像感知能力，进而为学生抽象思维和空间想象能力打下基础。

（三）形到数的转化

 形到数的转化即以形助数，借助图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。

以形助数是指数学教学活动实施过程中，教师立足于数量关系较为抽象、数学图形较为直观的特点，引导学生以图像的方式展现数学关系，对图像进行分析，发现其中包含的数与数的关系，进而发挥自身已有的学习能力，联系所学的知识，探寻数学知识，形成对数学知识的深刻理解。教师在组织小学数学教学活动时，可以立足于以形助数的特点，采取下面的方式对学生进行引导。

1.引入实物，全方位感受“数”。

   以“数的认识”为例，在实施教学活动中，教师可以立足于学生的思维发展特点，为学生直观地展示一些苹果、小圆片等物品，一个苹果是“形”，为它记上数字“1”；两个苹果和一个苹果合起来有多少个？引导学生现实观察、测量实物，全方位感受“数”。

2.借助图像，直观理解问题。

学阶段涉及的作图方法可以说是精彩纷呈的，有平面图、立体图、线段图、分析图、表格图、思路图等。在本课中，学生对圆柱的体积感知是抽象的，圆柱体是“形”，通过引用公式再计算，最终求出底面积是28.6cm²，高是15cm的圆柱形钢材的体积为28.6×15=429（cm³），实现了图形性质转化为数量关系，从而使抽象的问题具体化。

（四）数到形的转化

数到形的转化即以数解形，以形解数是指在数学教学活动实施过程中，教师利用数的形式，引导学生为图形赋予实际意义，从而利用代数知识解决复杂的几何问题。

例如，在组织了平行四边形、梯形、三角形等面积教学之后，教师可以利用以数解形的方式，引导学生联系所学知识，对不同的图形进行剪切、拼接，从而通过动手操作，把握几何图形的关系，同时，鼓励学生为不同图形的边长、高赋予不同的值，对比各自的数值，深入理解关系，利用具体数据计算面积，探寻面积关系，构建较为完整的数学认知，同时发展几何直观能力。

在《圆柱的体积》教学活动实施过程中，极少有教师会让学生动动手，画出一个给定数据的圆柱体，培养学生作图能力。例如，可以让学生画出一个体积为25.12cm³，高为2cm的圆柱体。根据公式V=Sh=πr²×h，πr²×2=25.12cm³，

πr²=12.56cm²，r²=4cm，r=2cm，最终作出一个高为2cm，半径为2cm的圆柱体。把问题的数量关系转化为图形性质，从而使复杂问题简单化。

通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辦证思维能力创造了条件。通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思考的好习惯。

三、几何直观在小学数学教材中的体现

根据皮亚杰的研究，小学阶段儿童心理发展尚处于具体运算阶段，儿童认识的发展，一般还离不开具体事物的支持，所以我们小学数学教学必须贯彻直观性的教学原则。这表明“几何直观”在小学数学教学中如何得以有效地运用，显得十分重要。那么，几何直观在各国小学数学教材中又是如何体现呢？我们教师又该利用几何直观培养学生数学核心素养。

（一）在培养数感时，利用数形结合

数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果、估计等方面的感悟，课程标注中把培养学生的数感作为义务教育阶段数学教育的一项重要的目标，我们只有为学生提供充分的可感知的一些现实背景材料，才能使学生真正地理解数概念。

1.整数、小数、分数的认识，直观感受“数”。

以数的认识为例，教师在教学活动过程中，如何利用直观模型培养学生的数感。在数的认识时，我们会用1个小正方体表示1；10个小正方体摆成一条就表示10；100个小正方体这一片表示100；一个大的正方体表示1000，这样学生便直观的感知到1、10、100、1000之间的关系。

在小数的认识时，我们可以用1个正方形表示1；将正方形平均分成10份，取其中的1份，也就是1条，表示为0.1；将正方形平均分正100份，取其中的1份，也就是1小块，表示为0.01。利用数形结合直观揭示1、0.1、0.01之间的数量关系。

    在分数的认识时，我们可以利用分数墙，帮助学生理解分数单位之间的关系，用一个长条表示1，将长条平均分成两份，便可以得到每份是1/2，然后以此类推1/3、1/4、1/5、1/6、1/7、1/8。分数墙生成后，我们便可以引导学生发现，如果我们将1/2看成是一块砖，2个1/4合起来正好是1/2砖的长度，除此以外，还有3个1/6，4个1/8合起来正好跟1/2砖的长度相等，以此类推，后面学生还会发现有很多，如5个1/10，6个1/12，合起来是1/2，学生便会发现分数单位之间的特殊关系。分数墙除了可以帮助学生理解分数单位，培养学生的数感，还可以帮助学生理解分数加减法的算理。

2.日本教材利用数形结合培养数感的体现。

   日本教材也是利用常见的小棒，帮助学生认识208数字的意义，各位上用8根小棒，表示8个一，十位上没有小棒用0表示，百位上有100根小棒成捆，2捆就是2个百，让抽象的数字直观展示。

（二）在概念学习时，利用数形结合

小学阶段的学生在首次接触到数学概念时，由于自身身心发展因素的影响，容易对数学的相关概念产生理解不透彻的现象，针对这种情况，教师要及时的从学生的身心发展出发，利用数形结合的思想增强学生对数学知识概念的理解，并且启发学生的想象力。

现在关于质数、合数知识点的教学，好多教材增加了学生操作的环节，例如北师大教材，分别给学生2个、6个小正方形，让学生分别利用2个、6个小正方形去拼成长方形，看看有多少种不同的拼法。用这样实际操作摆一摆、拼一拼的方法帮助学生认识质数、合数。

学生会发现2个小正方形，只有一种摆法，无论摆成1排，每排2个，还是摆成2排，每排一个，摆出来的长方形都是长为2个格子，宽为1个格子。而6个小正方形便有2中摆法，可以摆成1排，每排6个，也可以摆成2排，每排3个。学生会发现能否利用小正方形摆出不同的长方形可能和小正方形的奇数或偶数数量有关；还有可能和小正方形数字的因数个数有关。进而可以组织学生再次操作，到底是什么原因影响了最终摆放图形方案的数量。

最终直指质数、合数概念的内涵，发现摆出图形方案的多少和因数的个数有关，得出结论像2这样只有1和它本身2个因数的数叫质数，像6这样除1和它本身两个因数以外，还有其他因数的数叫合数。

（三）在理解算理、归纳算发时，利用数形结合

应该说有效的表象操作，它是促使学生从实物操作到算法操作必不可少的一个桥梁，想要促进学生对算法的抽象，我们不可忽视具体表象在具体和抽象之间的中介作用，从而可以增加一些操作。

1.韩国教材利用数形结合理解算理的体现。

韩国教材用苹果实物帮助学生理解12÷3的除法计算过程和算理，教材中通过画图，3个苹果为1组，就将3个苹果圈起来，箭头符号表示拿走，3个3个地拿走苹果，学生会发现4次刚好可以拿完，从而理解12÷3=4的除法算理。

韩国教材利用方块模型帮助学生理解42×3的乘法计算过程和算理，学生会发现会先把单独的小方块合起来，3个2合起来有6个小方块，再把一条一条小方块合起来，有12条，便是12个十，就是120，最后把单独的小方块合起来就是120+6=126，一共有126个小方块。

2.香港教材利用数形结合理解算理的体现。

香港地区利用数字轨道，帮助学生理解连加的计算算理和过程，例如8+6+7，可以从8开始向前数6个数是14，再向前数7个数是21，整个过程是一种动态的过程，3个数字用到了不用形状的3种水杯，还可以生成课堂游戏，让学生在课堂中“向前跳起来”。

3.各国教材利用数形结合理解算理的体现。

日本教材利用小棒图帮助学生理解两位数加法算理；新加坡教材利用数字楼梯帮助学生理解加减法的算理，向上爬为加法，向下爬则为减法非常清晰直观，又具有趣味性。

4.课堂教学中的“买卖”。

在除数是整数的小学除法教学活动中，我便真的准备了5盒牛奶，若干的1元硬币和1角硬币，将5盒牛奶打包，原来5盒牛奶12元，现搞促销活动，5盒牛奶11.5元，问现价每袋多少钱，通过已有知识学习，学生们不难列出除法算式11.5÷5，引导学生发现这个除法算式和以往学过的除法算式不同，被除数是小数，具体11.5÷5该如何计算呢？我们便可以真的拿11.5元摆放出来，帮助学生理解我们先分11元，11元平均分成5份，每份是2元，在列竖式时我们就可以在个位上写上2，分完后发现还剩了1元钱，不够分了怎么办呢？这时学生会提出我们可换钱呀！于是可以将1元换成10个1角，和原来的5角合起来就是15角，再把15角平均分成5份，每份是3角，刚好分完，3角就是0.3元，所以列竖式时我们要在2的后面点上小数点，十分位上写3，最后合起来11.5÷5=2.3，现价每袋奶2.3元。

将硬币模型和算式对应起来，学生对除数是整数的小数除法的算理理解就十分清楚直观。

（四）在解决问题时，利用数形结合

小学生在解决问题过程中实际上他们是完成了两个认识上的转化，第一个转化是从纷乱的实际问题中收集、观察、比较筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题，第二个转化是根据已抽象出来的数学问题全面分析其中的数量关系，探索解决问题的方法，然后求出问题的解答。

线段图能够使抽象的问题具体化，复杂的关系明朗化，为了正确解题创造条件，在分数、百分数问题解决时，我们可以引导学生把部分与整体的关系，具体数量与比率的关系正确的表达出来，我们便可以引导学生用画图的方法来做。

（五）在突破难点时，利用数形结合

四、数形结合思想的培养

以数解形可以将数可以将数形象化，以形助数可以使数直观化，数和形相结合的数学学习，必将促进学生学习的发展和能力的提高，为了提高数形结合的教学效果，我们在日常的教学活动实施中要注意以下几点

数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辦证思维能力创造了条件。通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思考的好习惯。促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展

沟通了数学知识之间的联系,

（一）在教学中使学生逐步养成画图的习惯。

教学中应有这样的导向：能画图的尽量画，将相对抽象的思考对象“图形化”，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

（二）重视变换——让图形动起来

几何变换或图形的运动是几何，也是整个教学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。

例如：平行四边形、三角形、梯形、圆形等面积公式的推导，让学生经历公式的形成过程；图形的平移和旋转；图形的位置和方向变换、图形的放大与缩小。

（三）学会从“数”与“形”两个角度认识数学   

数学的许多教学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征。数形结合是认识数学的基本方法，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学教学中只能让学生隔靴搔痒。鼓励学生使用多元表征，用不同的方法去表达一个意识。

 （四）培养数形转化意识

 利用基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。    

总之，数与形及其相互关系是数学研究的基本内容。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具。新课程呼唤我们每位教师要从根本上改变教学方法，强化数学思想方法的教与学，培养学生运用数学思想方法的意识和能力，锻炼学生的思维品质，使课堂教学“增值”。

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