用数学的方式去思考——推理

泸县牟丽名师工作室专题讲座讲稿

用数学的方式去思考

——推理

泸县兆雅镇明德小学   胥刚

尊敬的牟校长，工作室的老师们，大家晚上好！今天我要为大家讲的题目是：用数学的方式去思考——推理。

有人曾今问：鬼是什么？别人告诉他：鬼就是一种你想不通、理不清、搞不懂的东西。可是他很久都不明白。直到有一天，他看到一本数学书上的题时，他怎么也想不明白是怎么回事，这是他突然意识到，鬼啊！他终于明白了什么是鬼。老师们，我们的学生是不是也像这个故事中的人一样认为，数学就是鬼呢？其实不然，数学他是一门非常有乐趣的学科，只要我们学好了数学知识，将数学知识变成一种能力，再成为一种素养，你就会发现数学是多么的简单，多么的其乐无穷！

先看看我们对数学素养的认识是什么

对数学素养的认识：

数学素养是数学教育留在孩子大脑深处的烙印；

是数学文化潜移默化下留给孩子的数学基因代码。

它能帮助孩子去面对生活，去经历人生。                                                                  

小学阶段应该培养孩子哪些数学核心素养？史宁中教授说：数学有三大素养，即抽象（数学的眼光）、推理（数学的思维）、模型（数学的语言），今天我主要讲的是推理，用数学的方式去思考。接下来我主要从以下三个方面进行讲解:1.对推理的认识;2.有关推理的数学思想渗透;3.培养推理能力的教学建议.

一、对推理的认识

什么是推理?

推理是思维的基本形式之一，是由一个或几个已知的判断(前提)推出新判断(结论)的过程。                                                                  

——《现代汉语词典》

数学的推理，就是把表示数量关系的运算法、逻辑术语运用于研究对象，得到数学的结论或者验证数学的结论。数学的推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程。                                                                        

—— 史宁中教授

推理就是利用研究对象的性质与关系，推出数学结果的思维过程。

                                                —— 我们

推理的常见路径有：

特殊→一般

一般→特殊

特殊→特殊

归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都是具有这种性质的一般性结论的推理方法。（小范围到大范围）

西师版一上1单元《5以内数的加减法》P17，例3和练习二第1、2、3题。观察、对比两对算式：4+1=5,1+4=5和3+2=5,2+3=5发现、感知结论“交换两个（加）数的位置，结果（和）不变。”归纳推理的逻辑起点是经验和直觉。小学阶段更多涉及不完全归纳。归纳推理常常首先凭借的是一种感觉。因此，教学时不能仅仅通过两三个例子就进行归纳推理。

归纳推理

最初：感觉

低段：举很多例子（枚举）

中高段：举例子要兼顾不同类别

对于本课，推理能力的培养是否到此结束了？并没有！涉及推理的另一种途径。（后续说）

小学数学归纳推理主要体现以下几个方面：

公式的归纳、定律的归纳、规律的归纳、性质的归纳以及法则的归纳。

西师版三上6单元《一位数乘两位数》P13例4“笔算乘法”这里用到的就是法则的归纳。西师版六上6单元《比的意义和性质》P51例2。这里主要讲的就是性质的归纳。西师版三下2单元《长方形和正方形的面积》P31“长方形、正方形面积的计算”例1。这里是对长方形、正方形公式的归纳。西师版二下3单元《探索规律》P49-50例1、例2、例3、例4。学生通过寻找数据的规律得到答案，这是规律的归纳。西师版四上2单元《加减法的关系和运算律》P30“加法运算律”例1，通过学习明白a+b=b+a，这是对定律的归纳。

举例子也要兼顾不同类别，对于本课，推理能力的培养是否到此结束了？并没有！涉及推理的另一种途径。归纳推理往往在实践经验的基础上，通过观察、分析、比较、尝试、综合、调整等手段，形成对事物的共性认识，从而推出一般性结论。

 类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。

西师版四下7单元《小数的加法和减法》p80例3，将整数乘法运算定律推广到小数将小数运算与整数运算进行观察、比较，实现知识和方法的正迁移。发现、得出结论

“整数的运算定律对于小数同样适用。”

度量——类比推理，寻根问源

度量的本质：是给每一个测量的对象以合适的数。包括：

①认识测量对象，建立概念；

②认识度量单位；

③用单位直接度量（用公式间接度量）。

都是相同单位的累加。

周长是一节节相同长度单位的首尾相连；

面积是一个个相同面积单位的密铺覆盖；

体积是一块块相同体积单位的叠拼搭建。

类比推理关键在于发现两类事物相似的性质，观察、分析、比较、联想等是类比推理的基础。

有关类比推理的例子还很多，比如：1）概念：除法——分数和比；2）法则：整数——小数、分数；3）性质：商不变——分数、比；4）不同素材的专项问题类比（鸡兔同笼、行程问题）……

类比推理，最简单的理解就是“由此及彼”，最常用的方法就是“迁移”。

演绎推理，是由一般原理推出关于特殊情况下的结论。它是一种从大范围向小范围的推理，是形式确定、结果必然的推理。

西师版一下4单元《100以内加法和减法》P40-41。大前提：加法计算法则，小前提：此运算是加法。结论：运用加法计算法则计算。在某种意义上说：

运算属于演绎推理是否会有疑惑？前面不是说计算中的推理方式是“归纳推理”吗？

计算：通过归纳推理得出加法计算法则，再利用演绎推理将一般的法则应用与特定的计算。

西师版四上2单元《加减法的关系和加法运算律》P30“加法运算律”例1  

归纳推理和演绎推理同时都用到了。从加法算理“合并”去理解a+b=b+a。

人教版四下5单元《三角形》P68，“三角形内角和” 例6，同样用到了归纳推理和演绎推理。

帕斯卡利用长方形内角和：90°×4  = 360°把长方形分成两个直角三角形，得出直角三角形内角和：360°÷2  = 180°。两个直角三角形内角和：

180°×2  = 360°。钝角三角形内角和：360°－  90°－  90°  = 180°

同理可证锐角三角形。

简单的说，推理的过程常常是从条件出发，借助归纳、类比推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。

总之，在解决问题的过程中，归纳推理和类比推理有助于探索新知发现新的结论；演绎推理有助于证明结论为正确性。缺一不可，在数学学习中不能厚此薄彼。  

二、其它有关推理的数学思想

小学阶段还有哪些有关推理的数学思想：转化、几何变换、数形结合、代换、分类……

应该说，分类是推理的非常重要的准备工作。要对错综复杂的事物进行推理，一个有效的方法就是把这些事物按照某种准则进行分类，再对于一个类的事物给出判断的准则。

简单说，面对数学问题，如果直接应用已有的知识不能解决问题，往往会将需要解决的问题不断变化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使之得以解决。

两数之和为39.6，其中一数的小数点向右移动一位，就和另一个数相等。两数各是多少？（四下《小数加减法》）

11倍关系：39.6÷11=3.6

             ——此时还未学

西师版一上5单元《20以内的进位加法》P70“9加几”例1、例2

转化思想：

将“9+几”转化成“10加几”计算通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。

西师版三上8单元《分数的初步认识》P84 -P85例1、例2、例3、例4。以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题。小学阶段常有平移、旋转、对称、按比例变换等。

1.求图形周长，讲图形转化成学过的正方形或长方形。这时我们就可以用求出这个图形的周长了。

2.小区草坪长30米，宽20米，除了其中有两条宽1米的小路外都种了草。种草面积有多大？我们将几块草地拼接在一起就是一个长方形。

代换可以简单地说，就是“换元法”。是指在数学式子中，有时把一个量用与它相等的另一个量代替，进行辨识，是表面复杂、怪异的式子简单化，从而找到突破口解决问题。

〇＋△=24，△=☆＋☆＋☆；

〇=（     ），△=（     ）， ☆=（     ）。

三、培养推理能力的教学建议

以“藏在数学书里的秘密”为例

（一）多角度观察，打好推理基础

物理学家和天文学家伽利略说：“一切推理都必须从观察中得来。”        观察，从有序开始……

（数列的规律）

1.从左往右依次观察数字特征，正确分段，发现重复规律；

2.依次观察，发现相邻数递增递减变化规律；

3.跳跃观察、两条线并列观察，发现间隔数递增、递减变化规律。

让学生养成细致观察的习惯。多角度观察，渗透有序思考，促进思维的发展。

（二）刨根问底，激发推理意识

从现象到本质的深入探究，是以问题为导向的。培养孩子的问题意识是推理的前提。哪怕面对司空见惯、约定俗成的数学现象，也要敢于质疑，勇于思考。问一问“是这样吗？”想一想“为什么？追根溯源，多问“为什么？”

“能剩下这么多钱吗？” 抓住知识的冲突，大胆质疑——推理的开端。

在《为什么余数变了》这一课中：

“我用的商不变的规律，不对吗？”促进学生主动思考，展开推理过程。

“为什么余数变了？” 导航推理展开。借助数形结合，寻找原因，发展推理能力。关注数学知识之间的内在联系，抓好衔接，借助于已有的知识进行相关推理。借助面积问题，再次验证余数。发现余数的规律。引导学生提问：为什么会有这样的现象？背后的数学本质究竟是什么？

——余下的数表示原有计数单位的个数。

问题的提出，既是孩子们思考的起点，也是学习推理的起点。学生在所思中有所悟，层层推进，唤醒推理的意识。

大胆质疑，刨根问底。从疑问入手：为什么除法却要从高位算起？培养学生敢于质疑、善于推理的数学思维。

在《与众不同的除法》这一课中。对比中质疑：除法可以从低位算起吗？

从低位算起，利用平均分与位置意义仍然可以计算和解释。有章法地列举，注意例子的典型性和全面性。

在探究“算理”和“规律”的过程中发展学生数学思维，培养学生推理能力。

（三）大胆猜想，提供推理条件

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维作出各种猜想，然后加以证实。”牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”猜想是形成推理的先决条件，许多数学成果都是通过猜想而发现的。我么要思维发散，打破定式，敢想。从开放的“小问题”入手，引导学生发散性思考。打破思维定式，拓展思考角度，从“＋”到“－”。进一步拓展思考角度：改变算式结构。两个数运算——多个数运算；单一运算——混合运算。相似例题，引导学生通过分类进行有序思考，沟通多种方法之间的区别与联系。数学拓展延伸生活问题，体会多种方法解决的问题。鼓励学生多角度思考问题，条条道路通罗马。有的放矢，合理猜想数学的“猜想”，不是天马行空的“瞎猜”，也不是漫无边际的“乱想”。它是以一定的数学事实为基础的，建立在新旧知识联系之上的思考、对事物或变化方向的一种估计性判断。老结论、新思考。大胆猜想：“三个内角中至少有两个锐角。”从正、反两个方向，感悟推理方法，习得基本推理技能。继续想、再运用，发展推理能力。提出新的猜想“三角形中至少有一个角大于（等于）60°，一个角小于（等于）60°。”模仿、实践。

(四）小心求证，养成良好推理习惯

数学结论的得出，仅凭感觉、基于经验是远远不够的，引导学生科学的进行验证、分析或解释，用“数学事实”说话非常重要。在“猜想——验证”的过程中使学生感受数学的严谨性、科学性，养成良好的推理习惯。步步为营，推之有据《与众不同的除法》有章法地列举，注意例子的典型性和全面性。

有时也要唱唱反调。反例证明，从“证实”到“证伪”。数学验证：少一些大概和可能的盲目自信，多一些知其然又知其所以然的严瑾求真。

（五）有理有据表达，外显推理过程

推理：推之有据、言之有理。在数学推理的过程中，学生不仅要清晰地用数学思维去观察、解读现实世界和数学现象，去发现、思考其蕴含的数学规律和结论，还须用严谨而全面的数学语言规范表达逻辑推理的思维展开过程。准确表达，言之有理。

在《奇妙的魔法盒》这一课中

第一层：了解数独游戏规则学会用“因果关系”的句式表达。

《奇妙的魔法盒》

第二层：

整体观察，找准突破口。行、列知道数字越多，越能确定空白处填几。学会用“选择、转折关系”的句式表达。有条理、有根据，比较清楚地表达思考过程与结果。

第三层：

从“非此即彼”到学会“兼顾思考”。

一学段，建立基本语言模式，运用“因果关系、选择关系、转折关系、条件关系、并存关系”等句式，如：“因为……所以……”“由于……因而……”“因此”“由此可见”“之所以……是因为……”“如果……那么……”“不仅……而且……”“总而言之……”等等，表达推理的过程。

二学段，增强说理意识；能熟练运用准确、简洁、规范地数学语言有条理、有根据地表达推理的过程与结果；尝试三段论的说理模式。培养学生推理能力

总原则：整体把握、分步实施。

接下来为大家展示推理在《藏在数学书里的秘密》各册侧重推理的篇目。12本书，全12册共168个故事，侧重“用数学的方式思考——推理”的故事71个。从这些篇目中，我们可以看出推理在数学中占的地位和作用是非常大的。

老师们，数学素养的培养永远都在路上，让我们共同努力，让推理成为数学最显著的特征。让我们的教育走的更高更远！今天我的讲座就到此结束，如有不当之处，请老师们批评指!谢谢大家！

2022.12.15

用数学的方式去思考——推理