徐启铭《浅谈在数学游戏中如何引导学生建构数学模型》

浅谈在数学游戏中如何引导学生建构数学模型

【摘要】  在此前的研究中发现数学游戏在小学数学课堂中的融入让数学课堂对于小学生来说变得更加喜闻乐见，同样在数学游戏中融入模型思想也是能够让学生接受的。但是目前在一些乡村小学中对于学生的数学模型思想的培养方法仍然使用一些较为“落后”的教学手段或者有的教师尝试运用数学游戏去渗透模型思想但达不到预期的效果。因此如何在数学游戏中引导学生建构数学模型思想就成为我们一线教师亟待解决的问题，使用一定的策略让学生在数学游戏中建构数学模型的代数式、关系式及各种图表、图形等数学结构，并用数学语言加以表达，这样有助于提升小学生的数学核心素养以及高阶思维，也有助于建立对数学模型思想的认识以及发展对数学模型的应用意识。

【关键词】  小学数学   数学游戏   模型思想

众所周知小学阶段的数学课堂，大多都是片面地强课本中的知识及相关的概念或某些定义，以学生都能接受的、直白的方式进行教学，以达到获取教材中表达的结论或定义。这种“老式”的教学模式让数学知识与学生们的实际数学经验和学生实际生活经历偏离，这样的教学模式不仅会让学生的应变能力下降，更会让学生在处理问题解决类题目时灵活性失衡，这一点在乡村小学生方面尤为突出。而当下新颖的教学理念则是强调教师要尊重和重视学生已有经验，基于学生经历的生活实际现象或情境中将数学问题加以理解，在理解分析的基础上建立数学模型，通过一系列的求解验证总结出数学模型的科学性、可行性。所以，当今小学生学习数学的重要途径之一就是在学习过程中建构数学模型。同样在数学游戏做为教学媒介的前提下，学生在喜闻乐见的学习情景中提炼数学模型、求解验证数学模型、总结归纳数学模型，这便是更能让学生接受并建构数学模型的关键。这就要求做为一线教师的我们，在运用数学游戏教学的活动中引领他们发掘数学模型、探索数学模型，不仅仅要重视数学模型生成的结果，还需要重视他们探索并建构数学模型的过程，让学生在数学游戏的乐趣中进行探究性学习，这更能体现出数学模型构建的趣味性、科学性、合理性、有效性。

一、建构数学模型思想的意义

通过研究我们发现，数学模型是数学知识运用与数学概念转换的通道。在小学阶段数学模型可以基于数学代数式、关系式、图形、图表等数学结构用规范的数学语言或者是图形等来揭示数学概念、定义等之间的关系。数学模型的建构就是打通了数学概念知识与数学实际生活应用之间的通道，而我们主要探究的就是这个通道形成的过程，换句话说就是需要我们教师和学生理清怎样用教材上“死”的数学概念知识来解决“活”的生活实际数学问题的过程。数学模型思想的建构是一个从复杂到简答的过程，我们可以基于不同学段的学生思维能力出发，让他们通过对生活化、游戏化的数学情景的实际观察与相应的数学数据收集，掌握数学概念或定义的属性和数学关系式的规律，紧扣数学模型建构为核心，再将其转化为学生能够表达的理性的数学语言来反映数学信息之间的数量关系或等量关系，从而达到解决生活中数学实际问题的目的。基于上述研究形成的过程，其实就是学生在学习日常数学概念知识的同时，也就慢慢地掌握了一些相应的数学模型建构方法和数学模型建构规律。

数学基础概念知识的学习无可厚非是数学模型建构的基础，没有低年级学生数学概念知识的理解和积累，又何来中高段建构数学模型思想的呢？当然，不可不说的是某些运算法则、本身已被认可的公式和概念自己本身就是一种简单化的模型。但与此不同的是，我们常规教学中的数学模型很有可能是公式、概念的有机结合，而不是单一存在的，所以很多数学模型是需要学生通过已有知识去发现、去探究、去验证、去解决的，要想解决生活中的应用性数学问题首当其冲要解决的“门户”就是对数学模型的建立。小学生们在对数学模型建构上小试牛刀后，便可以在解决实际数学问题上发挥出巨大的潜力，这也是培养学生高阶思维的关键，同时也是发展小学生数学素养的门路，尤其是让农村小学生的数学素养提升的同时减少他们与城市教育的差距，实现教育均衡。当然，不同的学生能否在数学模型思想的建构方面学有所得，这取决于他们对数学知识、数学关系、数学图形、数学图表的理解能力以及将抽象知识转化为形象思考的能力，当然我们运用数学游戏的方式去教学就是让学生在轻松的氛围中去理解问题情景，建立数学模型，求解验证数学模型，从而降低他们对抽象知识无法形象化这一难题。

当然数学模型思想不能单单讲求“形而上学”、枯燥无味的“形式而学”，只有在实践过数学模型思想的建构后，学生才能将数学模型思想得到真正培养和提高的。与此同时学生运用这一数学高阶思维解决问题的具体表现在两个方面：首先当是在“双减”教育背景下的分层次作业，如基本题、变式题、拓展题等；其次是具有生活性的课外作业，在小学生在感受数学问题来源于日常生活的同时，将所掌握的数学模型思维得以应用。从以上的阐述不难发现数学模型思想的应用在小学数学这一门学科中所起到的不可或缺的地位。

二、在数学游戏中建构数学模型的策略

在数学游戏课堂中引导学生建构数学模型思想的生成，就是让他们初步形成以数学模型思想为主的数学思想来思考数学问题的生成过程，也是为了让他们在接下来的学习过程中真正地“做”数学、“玩”数学、“思”数学。通常我们了解到的小学数学模型的探究模式基本是以创设合理情境再到数学模型的形成最后让学生验证模型并应用的过程。但是在有数学游戏加持的数学课堂中我将探究模式优化为“创设主题式情境——开展游戏式探究——建立结构式模型——求解通用式验证”，这个建构数学模型的模式大致包括以下4个策略：

（一）立足生活经验，精选游戏情景

在小学阶段引导学生建构数学模型是考虑到学生们的抽象思维尚未发展全面，特别是小学中低段的学生还是主要以形象思维为主。因此将抽象化的数学问题变得形象，变得让他们容易理解是我们需要考虑的问题。所以，对于数学模型的选取我们要从学生的心理活动状态和学生的生活经验出发，并且要考虑到不同学段的学生学习心理。这就要求我们教师要不断的更新自己的“知识面”就是要知道学生们喜欢怎样的情境，怎样的情境更加“接地气”，学生熟悉的问题情境可以是基于他们的生活积累也可以是他们的兴趣爱好，让他们能够在主题式情境的沉浸中生成主动学习、主动建构数学模型的“激情”，从而引发一系列的思考直到他们能够去验证解决生活中的实际问题。那么我们在设计课堂教学情境时，就更应该注重情境的模范性、数学游戏的可操作性、知识结构的代表性，并且将数学游戏创设的重点放在学生的主观能动性上，以此来焕发学生对主题式问题情境的热忱，更是为引导学生积极探索问题奠定基础。

例如在教学西师版一年级上册《10以内的减法》时，因为学生们是刚由幼儿园阶段进入小学阶段，于是我创设了如下主题式情境：今天我们去拔萝卜，在此同时我播放了“拔萝卜”音乐片断，让学生在歌声中沉浸式的融入到今天我创设的情景中。随后我从讲台下拿出5个萝卜放在教室盆栽里的，学生看见是真实生活中的萝卜，整个数学课堂氛围逐渐走向高潮。在创设了这样的情境后对于学生来说此时对于探究知识的欲望已经被激发，然后我请某位学生上台拔起2个萝卜，其他学生在这样沉浸式的教学体验中感受到了拔萝卜的过程，随后我让学生说一说自己看到的。有的学生发现有5个萝卜；有的学生发现同学拔了2个萝卜，还有3个萝卜，于是我让他们连贯性地说一说之后自主地提出了数学问题，即5个萝卜，拔了2个萝卜，还剩多少个萝卜？接下来我让学生用小棒代替萝卜再次模拟这个过程，发现无论是拔萝卜还是摆小棒，都可以用算式5-2=3表示。我顺势让学生说一说5、2、3分别表示什么？紧接着我追问：5-2=3还可以表示什么呢？学生们根据这个代数式展开讨论。

至此，运用数学游戏的课堂教学中让学生沉浸式参与情境为低年级学生渗透了初步的数学模型思想，在这个数学游戏中对于学生的抽象能力的训练是达成了的，对概括能力的训练更培养他们对于代数式的含义的发散。更为重要的是看似简单的训练是基于了学生的数学表达能力的培养，更是适合小学低年级学生对知识结构的认知特点即形象直观的事物理解。在“做”数学、“玩”数学的操作过程中将知识内化和强化，以达到发散性思维和创新型思维的提高，将算式赋予了“模型”的生命。

（二）感知游戏现象，洞察模型本质

目前小学生数学感知能力在小学数学课堂教学中备受关注。相对而言，如果学生在面对数学知识时的“第一感”非常好的话，那么他在后续的学习和探究过程中就会相对容易从正确的思路去解决问题。如果在数学游戏开展过程中教师能够让学生从数学模型出发联想到生活模型，再从生活模型归纳到数学模型，那么学生学习数学的乐趣将会大大提升。当然数学模型思想的建构也能体现在运用数学游戏探究数学问题这一方面，教师可以引导学生将数学问题模拟为生活场景，可以营造于想象之中，也可以用游戏演绎推理的方式模拟生活场景，当然我们的数学游戏最好是基于小学生的生活经验除法，这样合理恰当的运用可以激发学生的思维能力，但是我们的数学游戏不能自考虑到游戏的活跃性为了游戏而游戏，这就适得其反了，这将会让他们渐渐迷失本来应当探索的学习内容，在游戏中过度“兴奋”停不下来。在探究数学知识的过程中，运用数学游戏能够在瞬间抓住学生们的注意力，使学生被教师设计的游戏“牵着鼻子走”进而去思考应当探索的数学问题、感知数学现象，进而洞察到数学模型的本质，而且还能发展小学生的数学核心素养。在游戏过程学生会顿悟相应数学模型思想的规律，从而引发他们主动、自主学习，自行解决同类型更为复杂的问题。长此以往，学生们便就有了自己的一套数学模型思想，这样更能有利于他们从中高年级起就产生一定的数学建模模型意识，并用数学的眼光观察世界。

例如在西师版四年级上册教学《植树问题》时，题目如下：公园中的一条路，从大门开始种树，每隔15米一棵，直到路的尽头，一共种了10棵树，公园这条路有多长？面对这个问题，大部分学生的“第一感”就是想到的每隔15米一颗，有10棵，即10个15这个代数式，从而忽略了这个问题的本质。所以要解决这种高于一般数学知识的问题时，我们就要从贴近生活的简单数学游戏出发，通过简单的数学游戏认识到问题的本质、解决方法和建构问题的数学模型，以便推理提炼规律。我在发现大部分学生用的10×15=150（米）来计算后，我让同学们放下手中的笔，我们一起来做一个“手指翻山越岭”的游戏，一只手握成拳头，另一个只手的食指从拳头一端凸起处翻山越岭到另一端凸起处，让学生感受这个翻山越岭的过程，让他们充分感受后，我顺势提问：同学们的手指过了几座“山”，过了几道“沟”，学生们恍然大悟，过了4座山，却只有3道沟。学生们从这个简单的数学游戏现象中洞察到了这一植树问题的关系式数学模型，即两颗树之间只有一个间隔。那么就得出有9个间隔，每个间隔15米，因此正解为9×15=135（米）。至此学生解决了这个问题，于是我追问：“那么在生活中还存在这样的关系式想象吗？”学生们兴趣高昂，马上展开小组讨论，并用自己持有的道具或肢体或同伴间合作进行提出现象、验证现象这个过程，进而得到爬楼梯等数学问题也是运用的这一数学关系式模型，从而洞察到了这一数学模型的本质，为进而继续探究“一端种树”、“两端都不种”、“环形种树”这些同类问题奠定了数学思考基础。面对一般问题到变式问题，基于简单问题发展到复杂问题，从探究过程到归纳模型，我们都必不可少要让学生动手“玩”数学。让他们在“玩”中提高高阶思维能力。

（三）模型结构探究，创造游戏契机

小学数学教学中的模型结构化最为关键的一点就是需要教师在课堂教学中要让学生亲身经历、融入并沉浸式地将所面对的数学问题经历抽象情景——形象理解——抽象模型这一探究过程，最终达到灵活运用数学模型的目的，并且引导学生抓住数学知识与知识之间内部与外部的本质特征及联系，建构出该数学问题最基本的模型结构。与此同时，我们教师在教学中应该对知识点或问题情境有一定的模型意识把握，明确本知识或本问题是需要去培养、渗透、建构什么数学模型，在明确目标后还需要教师引导做到先独立思考再小组讨论交流，努力创造数学游戏的融入契机，这样才能达到让学生主动地、积极地融入我们学习的目的，并经历在游戏过程中探究并发现数学模型，归纳验证数学模型的过程，最终目标就是通过游戏和探究建构出所有学生接受的数学模型，当然部分后进生可能会出现思考迟缓、理解不到位等情况，这种情形则需要教师因材施教，用后进生能够接受的方式去引导他们建构数学模型，大多此类情况我们归纳为“后进生转化”这个研究项目，我们的后进生需要先通过一定的转化后方能跟上其他学生建构数学模型的步伐，在这里就不过多讨论。

在一次学校的教研课中，我选择的是西师版六年级数学《鸡兔同笼》这一内容，我在课堂导入时先设计了六年级学生接受的趣味动画和节奏激昂的音乐介绍了“鸡兔同笼”问题的提出缘由，让学生在上课伊始就沉浸到本节课“鸡兔同笼”的情境中去，并请设计了让学生角色扮演的数学游戏情境模拟，游戏模拟后让其余学生说一说自己对于此问题的发现、想法、思考，在学生们的头脑风暴后，我立即给出时间让他们大胆假设和猜想，并要求他们用图表来验证，这里就为学生们渗透了图表式这一数学模型。在学生运用图表法解决后，再用恰当的角色扮演故事引导学生从图表法过度到假设法上，在我的引导下学生大胆尝试画图形来表示“鸡”、“兔”，思考怎样表示最为合理，这里就结合了他们的生活经验，然后运用希沃白板的克隆功能让学生上台演示假设过程，再让学生扮演“鸡”、“兔”自行组织语言进行游戏验证，让他们融入自己的假设中。紧接着结合学生已有的方程学习经验，引导学生尝试用方程解决，当然这里就需要让学生明确“设哪个动物的只数为x，另一个动物的只数应当怎样表示？”学生积极讨论，在确定“鸡的只数为x后，兔的只数则为（总头数-x）”，在确定这个只数的关系式数学模型后，进而引导学生继续探索出脚的关系式数学模型，即“2x+4（总头数-x）=总脚只数”，然后学生们豁然开朗，积极地去解出这个一元一次方程。有部分学生在已有的方程思想基础上思考出了与初中知识有关联的二元一次方程组的数学模型，即x+y=总头数；2x+4y=总脚数。下课前我再引导学生讨论，生活中还有其他类型的情境类似于今天所学内容，学生通过讨论得出鸡兔同笼的同类型问题。引导学生将本节课的数学模型联系到生活实际中，提高了他们的应用意识和能力，发展了他们的高阶思维。至此本节内容圆满结束，学生充分经运用游戏历结构化的探究后，建立出了有关“鸡兔同笼”相关数学问题的模型。

显然如果只根据教材内容进行教学，学生是“吃不饱”的。因此对于某些数学问题及其拓展问题而言是有3个方面上我们在教学设计时需要重视的：一是这些问题的数学结构特征；二是这些问题的在解决方法过程中是否存在多样性；三是如何引导学生在经历问题解答后，形成符合此类数学问题现象结构特征的所有问题都能解决的能力。我们要引导学生探究的是一种数学思想和应用方法，学生有了关于这个问题的数学模型结构后，加上他们亲生经历数学游戏的理解后，才能将问题解决方法内化、固化。因此我们在对于某些知识或问题的整个探究中，最为重要的是让学生经历模型的“真面目”，必不可少的更是要重视学生对数学模型结构化探究的完整性，这样才能发展他们的数学核心素养。

（四）游戏求解验证，内化模型思想

在数学课堂上学生探究出数学模型后，如果能用所他们归纳出的数学模型“现炒现卖”——通过求解验证生活中的实际问题，并运用游戏的方法去内化模型思想，使学生感受到所学习的数学模型在现实中的使用价值，并进一步体验学有所用，同时进一步培养学生数学应用意识和综合应用解决能力，达到以体验为主的生活实际应而成功的终极目标。当然我们在设计求解验证数学模型的具体表现可以分为两类：第一类是普遍性的数学题分层次习题布置——面向于所有学生的立足于课本所学知识的基本题、面向于大部分学生的基于基本知识生成的变式题、面向学有余力学生的基于课本知识发散性的拓展题等；第二类则是生活性、趣味性、游戏性的实践题作业，这一类作业可以让学生在“做”中巩固数学模型、在“玩”中内化数学模型。对数学模型的生活运用才能真正让探究的数学模型“走近”和“走进”他们的现实生活。在用数学模型去求解验证生活中各种同类问题的同时还进而培养了学生除了模型意识外的其他数学意识，达到逐步完善学生的数学认知水平、数学思维水平、数学表达水平、数学应用水平、数学精神水平的目的，又可以促进学生数学探索意识、发现数学问题意识、数学创新意识和动手实践意识的形成，在实际求解验证的过程中对数学模型内化的同时提升自己的高阶思维。

如在学习了西师版六年级上册《圆的周长》周长这一课后，正巧是周末，于是下课时我为学生设计了这样的生活性、开放性、游戏性实践活动：怎样用你的某件物品测量A地到B地的路程？我要求学生自主确定A地和B地，可以是从家到学校，也可以是从自己家到某位同学家，还可以是从自己家的某个位置到另一个位置。我没有为学生指明用什么物品进行测量，让学生大胆放开手去完成，结果意想不到的收到了众多的测量结果，有的学生用的自行车测量了家到学校的路程、有的学生用瓶盖测量了自己书桌的长度、更有学生用自己的圆柱形保温杯测量了家里院子了长宽……但不尽相同的是他们都运用了圆的周长计算公式这一关系式模型，学生在实践游戏的过程中内化了这一个模型，形成了自己的数学经验。

因此我们在设计对数学模型验证或求解内化的练习时不仅要考虑该问题与学生生活真实情景的融合，还要能引起学生的积极性、趣味性，让他们能够去大胆猜测、合理估计、动手操作、观察分析、全面思考等更为具体的数学探究活动，同时能够让学生在他们能够接触到的具体形象的游戏实践活动中培养搜集信息、分析问题的经验。在让学生解决数学生活实际问题的时候，学生们不但需要搜集大量的数学信息，而且需要他们从这些大量的信息中剔除干扰条件，运用有利信息建构起与所学知识有关的数学模型，还要运用这个数学模型进行计算、解决问题等一系列操作。在这些操作过程中，学生就潜移默化地形成了对数学问题实事求是的数学精神态度以及对某些问题能够在加以考虑后提出质疑的习惯，更重要的是进一步激发了学生的创新能力和自立能力，更是为了学生高阶思维的成长服务、为了提高学生的数学核心素养打好基础。

三、总结

总而言之，我们小学数学教师要重视在日常教学中引导学生建构数学模型，数学模型思想是小学阶段“高阶思维”的主要表现之一，不仅如此，通过模型思想的引导和建构，能够推动小学生对四大领域的知识更进一步的深刻运用和内化，并且能不断提高、发展他们学习数学的思维。在我们的实际课堂教学过程中，我们需要重视数学模型思想的引导，在备课环节中充分利用教材的基础上，注重设计一定的课堂数学游戏或具有思辨创新性的实践活动来引导学生对数学模型进行相应的建立，并逐渐掌握数学建模的技巧。而且作为一名人民数学教师，还应该不断的提高自己的数学教学能力，向专家名师学习、向优质教学资源学习，这样才能发掘更多基于教材的数学模型；才能探索出适合自己学生的数学模型建构方法；才能设计出更多新颖、丰富的数学游戏来探索数学模型，增强学生学习数学的兴趣。

况且，小学生思维活跃并且跳跃，课堂上有效注意力时间短，如果我们的数学课程单调、乏味，那么对于他们来说数学就是一个困难并且枯燥的学科，而且数学模型的学习对于小学阶段来说是属于整个数学层次结构的初级阶段，某些数学模型的教学内容对于个别学生来说并不能让其刚学就懂，在小学阶段运用数学模型思想的教学可以引导学生将抽象的数学概念或问题形象化，而且我们可以通过数学模型的建模能力、数学模型的意识以及生活实践性全方位来培养小学生的数学模型思想，这样还能帮助学生运用自己内化的数学模型来解决复杂的数学问题，所以培养小学生的数学模型思想是一个循序渐进的过程中，我们作为教师更需要有足够的耐心和毅力。如果我们将这份教育的执着发展并不断扩大，在课堂中全心全意投身到学生掌握数学的综合能力发在高阶思维以及学生数学核心素质的持续提高过程中，那么培养他们数学模型思想的目的终究可以得到实现，小学生也因此能够让自己的“数学高阶思维”以及“数学核心素养”朝着全面发展的方向前进。